求 x 趋于 2 时 3x³ + 5x² + 4x − 10 的极限。

Step-by-step solution

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   先看清你在对什么样的函数求极限。 式子 $3x^3+5x^2+4x-10$ 是多项式。多项式由 $x$ 与常数的和、积搭成，这样的函数在每个实数处都连续。而「在 $a$ 处连续」说的正是

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   所以这里不需要任何代数技巧——整道题就归结为一次求值。

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   把 $x=2$ 逐项代进去。 一项一项地算，算术才不会出岔子：

   $3(2)^3=3\cdot 8=24,\qquad 5(2)^2=5\cdot 4=20,\qquad 4(2)=8,\qquad -10$

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   把四项加起来。

   $24+20+8-10=42$

   所以

   $\lim_{x\to 2}\left(3x^3+5x^2+4x-10\right)=42$

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   确认直接代入是合法的。 直接代入只有在得到 $\tfrac00$ 或 $\tfrac{c}{0}$ 这类无定义形式时才会失效。这里代出来的是有限数 $42$，没有任何未定式需要处理——不用因式分解，不用有理化，也用不上洛必达法则。

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   从两侧做个粗略检验。 在 $x=2$ 稍偏一点处求值，$f(1.99)\approx 41.4023$，$f(2.01)\approx 42.6023$；数值从下方和上方一起向 $42$ 靠拢，这正是双侧极限为 $42$ 应有的样子。