f(x) = (x² − 1)/(x² − 3x + 2) 在哪些 x 处不连续？判断每个间断点是可去的还是不可去的，并说明理由。

Step-by-step solution

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   先锁定嫌疑点：分母的零点。 有理函数在分母不为零的地方处处连续，所以唯一可能出问题的地方来自

   $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=1,\ x=2.$

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   分子也要分解 —— 这才是判定类型的依据。 因为 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，所以

   $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.$

   间断点可去，当且仅当那个作怪的因式能被约掉；约掉之后双侧极限存在，缺的只是函数值而已。

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   看 $x=1$：因式能约掉，极限存在。 当 $x\neq 1$ 时函数等于 $\dfrac{x+1}{x-2}$，于是

   $\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1+1}{1-2}=-2,$

   而 $f(1)$ 没有定义。极限存在，但等不上那个（缺失的）函数值，所以 $x=1$ 是可去间断点 —— 图像上是 $(1,-2)$ 处的一个空心点。补充定义 $f(1)=-2$ 就能把它补好。

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   看 $x=2$：因式约不掉。 在 $x=2$ 附近，约分后的形式是 $\dfrac{x+1}{x-2}$，分子趋于 $3\neq 0$，分母趋于 $0$，于是

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$

   数值上，$f(1.999999)\approx -3\times 10^{6}$，$f(2.000001)\approx 3\times 10^{6}$。有限极限不存在，所以无论怎么补充定义都救不回来：$x=2$ 是不可去间断点（无穷间断点，对应一条垂直渐近线）。

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   给出结论和理由。 $f$ 只在 $x=1$ 和 $x=2$ 处不连续；$x=1$ 可去，因为公因式 $x-1$ 能约掉且极限 $-2$ 存在；$x=2$ 不可去，因为左右极限都是无穷且符号相反。