求 (1 + 2x)^(1/2) 在 x = 0 处的泰勒级数，写出通项，并指出收敛区间。

Step-by-step solution

1. 1

   用二项级数，而不是反复求导。 广义二项式定理给出

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},$

   它对 $|t|<1$ 和任意实数 $\alpha$ 都成立。与本题对照：$\alpha=\tfrac12$，$t=2x$。若硬算 $f^{(n)}(0)$，要用四轮链式法则才能走到同一个地方。

2. 2

   算出前几个系数，注意保留 2 的幂。 每一项都是 $\binom{1/2}{n}(2x)^{n}$，所以 $2^{n}$ 必须一路带着：

   $n=1:\ \tfrac12(2x)=x;\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}(4x^{2})=-\tfrac12x^{2};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}(8x^{3})=\tfrac12x^{3};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}(16x^{4})=-\tfrac58x^{4}.$

   漏掉 $2^{n}$ 是最常见的错误，那样二次项会算成 $\tfrac18x^{2}$ 而不是 $-\tfrac12x^{2}$。

3. 3

   写出展开式。 把各项收拢：

   $\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{5x^{4}}{8}+\cdots$

   留意符号：从第三项起是正负交替的，因为每个因子 $\left(\tfrac12-k\right)$（$k\ge1$）都是负数。

4. 4

   写出通项。 用闭式表示为

   $\sqrt{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}2^{n}x^{n}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{n!}\,x^{n},$

   其中 $(2n-3)!!=1\cdot3\cdots(2n-3)$。用 $n=4$ 验一下：$\frac{-1\cdot(1\cdot3\cdot5)}{24}=-\frac{15}{24}=-\frac58$ ✓。

5. 5

   确定收敛区间并做数值检验。 二项级数要求 $|t|=|2x|<1$，即 $|x|<\tfrac12$；又因为 $\alpha=\tfrac12>0$，级数在两个端点也绝对收敛，故收敛区间为 $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$。取 $x=0.05$，上面写出的四项之和是 $1.0488086$，而 $\sqrt{1.1}=1.0488088$ ✓；取 $x=0.1$ 得 $1.0954375$，而真值是 $1.0954451$ ✓——$x$ 越靠近端点误差越大，与预期完全一致。