求 0.4 乘 e 的 −s 次方，加 0.2 乘 e 的 −2s 次方，再加 0.4 乘 e 的 −3s 次方的拉普拉斯逆变换。

Step-by-step solution

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   先看指数的符号。 拉普拉斯域里的函数带的是 $e^{-as}$，其中 $a > 0$；而因子 $e^{+as}$ 描述的是时间上向前的平移，它不是任何因果函数的变换。所以写成 $e^{s}$、$e^{2s}$、$e^{3s}$ 的式子，必须先理解成 $e^{-s}$、$e^{-2s}$、$e^{-3s}$，才谈得上求逆变换。

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   注意指数后面并没有跟一个 F(s)。 第二位移定理说

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)\,f(t-a)$

   这里每个指数都是孤零零的，也就是 $F(s) = 1$。而 $1$ 的逆变换不是普通函数——它是狄拉克 δ 函数 $\delta(t)$，因为 $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$。

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   对每一项套用 δ 的平移法则。 把上面两点合起来：

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\right\} = \delta(t - a)$

   于是这三项分别对应 $t = 1$、$t = 2$、$t = 3$ 处的三个冲激。

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   用线性性把答案拼起来。 逆变换是线性的，所以系数原封不动地保留：

   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{2}{5}\delta(t-1) + \frac{1}{5}\delta(t-2) + \frac{2}{5}\delta(t-3)$

   这就是强度分别为 $0.4$、$0.2$、$0.4$ 的三个冲激组成的冲激串。

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   正变换回去检验。 对每个冲激用 $\int_0^\infty \delta(t-a)e^{-st}\,dt = e^{-as}$，正好还原出 $\tfrac25 e^{-s} + \tfrac15 e^{-2s} + \tfrac25 e^{-3s}$。另外注意系数之和 $\tfrac25 + \tfrac15 + \tfrac25 = 1$，所以总冲激强度是 $1$ —— 与单个 $\delta(t)$ 的总面积相同，只是分摊到了三个时刻。