求当 n 趋于无穷时 (3n² − 4n + 9)/(n² + 32n + 48) − √(n² + n + 18) 的极限。

Step-by-step solution

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   把式子拆成两块，各自单独研究。 这两块的行为完全不同，所以这里根本没有需要化解的不定型——诀窍恰恰在于及早看出这一点，而不是急着搬洛必达法则或有理化的套路。

2. 2

   求有理式那一项的极限。 分子分母同除以最高次幂 $n^2$： $\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48} = \frac{3-\tfrac4n+\tfrac{9}{n^2}}{1+\tfrac{32}{n}+\tfrac{48}{n^2}} \longrightarrow \frac{3}{1} = 3.$ 分子分母次数相同，极限就等于首项系数之比。

3. 3

   看清根式的行为。 从根号里把 $n^2$ 提出来： $\sqrt{n^2+n+18} = n\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{18}{n^2}} \sim n \cdot 1 = n \to +\infty,$ 这里用到了 $n\to+\infty$ 时 $|n|=n$。更精确地说，它是 $n+\tfrac12+O(1/n)$。

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   把两种行为合起来看。 整个式子是（趋于 $3$ 的东西）减去（趋于 $+\infty$ 的东西）。有界量减无界量，结果没有下界： $3-(+\infty) = -\infty.$ 这是一个确定型，而不是不定型。

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   数值确认。 在 $n=10^{6}$ 处，有理式那一项是 $2.99990$，根式是 $1{,}000{,}000.5000$，两者之差约为 $-999{,}997.5$——已经像预期那样跟着 $-n$ 走了。

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   写出结论。 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48}-\sqrt{n^2+n+18}\right) = -\infty,$ 而且渐近地看，这个式子的行为像 $-n+2.5$。