计算 x/(x² + y²) 在由抛物线 2y = x² 与直线 y = x 围成的区域 D 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先求两条曲线的交点。 由 $2y=x^2$ 得 $y=\tfrac{x^2}{2}$。令 $\tfrac{x^2}{2}=x$ 得 $x^2-2x=0$，所以 $x=0$ 或 $x=2$；交点是 $(0,0)$ 和 $(2,2)$。

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   判断哪条曲线在上方。 在 $x=1$ 处直线给出 $y=1$，抛物线给出 $y=\tfrac12$，所以直线是上边界。于是区域为 $0\le x\le 2,\qquad\frac{x^2}{2}\le y\le x.$

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   先对 $y$ 积分。 把 $x$ 看作常数，$\int\frac{x\,dy}{x^2+y^2}=\arctan\frac{y}{x}.$ 之所以选 $y$ 作内层变量，是因为这样分子上的 $x$ 才派得上用场。

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   代入上下限。 在 $y=x$ 处宗量为 $1$，在 $y=\tfrac{x^2}{2}$ 处为 $\tfrac{x}{2}$。于是 $I=\int_0^2\left(\arctan 1-\arctan\frac{x}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}-\int_0^2\arctan\frac{x}{2}\,dx.$

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   剩下的积分用分部积分。 令 $u=\tfrac{x}{2}$ 后它变成 $2\int_0^1\arctan u\,du$，而 $\int\arctan u\,du=u\arctan u-\tfrac12\ln(1+u^2)$，于是得到 $2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\ln 2.$

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   合起来。 $I=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\ln 2\right)=\ln 2\approx 0.693147,$ 这与直接对 $\int_0^2\left(\tfrac{\pi}{4}-\arctan\tfrac{x}{2}\right)dx$ 做数值计算的结果一致。