解微分方程 dy/dx = 3 − 4y。

Step-by-step solution

1. 1

   认出类型，顺手找出平衡解。 右边只依赖 $y$，所以方程是可分离变量的（它同时也是一阶线性的）。令 $3-4y=0$ 得到常数解 $y=\tfrac34$——导数在这个高度上恰好为零。其余每个解都会朝它靠近或远离，所以这个值应当出现在最终答案里。

2. 2

   分离变量。 两边除以 $3-4y$（在 $y\neq\tfrac34$ 时合法），再乘 $dx$：

   $\frac{dy}{3-4y}=dx$

3. 3

   用换元 $u = 3 - 4y$ 对两边积分。 此时 $du=-4\,dy$，所以 $dy=-\tfrac14\,du$：

   $\int\frac{dy}{3-4y}=-\frac14\int\frac{du}{u}=-\frac14\ln|u|+C$

   这个 $-\tfrac14$ 来自链式法则，也是最常被漏掉的一步：

   $-\frac14\ln|3-4y|=x+C$

4. 4

   把对数解掉。 两边乘 $-4$ 再取指数：

   $\ln|3-4y|=-4x+C_1\qquad\Longrightarrow\qquad |3-4y|=e^{C_1}e^{-4x}$

   把 $3-4y$ 的符号吸收进常数里，绝对值就可以去掉：$3-4y=Ae^{-4x}$，其中 $A$ 是任意非零实数。

5. 5

   解出 y，再把常数并成一个。

   $y=\frac{3-Ae^{-4x}}{4}=\frac34-\frac{A}{4}e^{-4x}=\frac34+Ce^{-4x}$

   把 $-\tfrac{A}{4}$ 重新记作 $C$ 是合法的，因为 $A$ 本来就是任意的；而现在允许 $C=0$，正好把第 2 步的除法所排除掉的平衡解 $y=\tfrac34$ 补了回来。

6. 6

   代回验证。 求导得 $y'=-4Ce^{-4x}$。另一边 $3-4y=3-3-4Ce^{-4x}=-4Ce^{-4x}$——完全一致 ✓。数值上取 $C=2.3$，在 $x=0.1$ 处两边都等于 $-6.16694$，在 $x=-0.4$ 处两边都等于 $-45.5679$ ✓。

7. 7

   解释这个行为。 由于 $x\to\infty$ 时 $e^{-4x}\to0$，每个解都会从自己所在的那一侧趋向 $y=\tfrac34$：这个平衡是稳定的，而这正是 $y$ 前面那个负系数 $-4$ 所预告的。