求 1/(a - bx) 关于 x 的不定积分，其中 a、b 是常数且 b 不为零。

Step-by-step solution

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   选定换元。 分母是一次式，所以直接把整个分母设成新变量：

   $u=a-bx$

   凡是形如 $\int\frac{dx}{\text{一次式}}$ 的积分，这都是标准做法——不要去想部分分式，也别凭记忆硬套某个 $\ln$ 公式。

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   对换元式求导，解出 dx。

   $du=-b\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad dx=-\frac{1}{b}\,du$

   这个负号来自 $-bx$；把它弄丢是本题最常见的错误。

3. 3

   把积分改写成关于 u 的形式。

   $\int\frac{1}{a-bx}\,dx=\int\frac{1}{u}\left(-\frac{1}{b}\right)du=-\frac{1}{b}\int\frac{du}{u}$

   常数 $-\tfrac1b$ 可以直接提到积分号外面。

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   积分后再换回 x。 由 $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$ 得：

   $-\frac{1}{b}\ln|u|+C=-\frac{1}{b}\ln|a-bx|+C$

   绝对值不可省略：$a-bx$ 在 $x=\tfrac{a}{b}$ 处变号，被积函数在那里有一条竖直渐近线，原函数只在这条线的两侧分别有效。

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   记住这个通用套路。 对任何一次的内层函数，

   $\int\frac{dx}{px+q}=\frac{1}{p}\ln|px+q|+C$

   本题中 $p=-b$，直接就还原出了那个 $-\tfrac1b$。前面的系数永远是内层一次函数斜率的倒数。

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   求导验证。 由链式法则，$\frac{d}{dx}\left[-\frac1b\ln|a-bx|\right]=-\frac1b\cdot\frac{-b}{a-bx}=\frac{1}{a-bx}$ ✓。数值上取 $a=3.7$、$b=1.9$，在 $x=0.4,\,-2.0,\,3.0$ 处用对称差商计算，与被积函数吻合到五位数字 ✓，其中渐近线 $x=1.947$ 的两侧各取了一个点。