当 x 接近 y 时，给出 ln(x/y) 的一个实用近似式，并写出下一项修正。

Step-by-step solution

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   把这个商改写成一个小扰动。 令 $x=y+\Delta$，其中 $\Delta=x-y$ 与 $y$ 相比很小。于是

   $\frac{x}{y}=1+\frac{\Delta}{y},\qquad\text{于是}\qquad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln\!\left(1+u\right),\quad u=\frac{x-y}{y}.$

   这里的 $u$ 正是 $x$ 相对于 $y$ 的相对变化率。把问题改用 $u$ 来表述，正是让一次级数展开就能包办全部工作的关键。

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   在 $u=0$ 处展开对数。 麦克劳林级数是

   $\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots,\qquad |u|<1.$

   没有常数项，反映的是 $\ln1=0$；首项系数 $1$ 就是 $\frac{d}{du}\ln(1+u)$ 在 $u=0$ 处的值。

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   读出一阶近似。 只保留首项，

   $\boxed{\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}}$

   这就是那句耳熟的话：对数之差近似等于百分比变化——上涨 $3\%$，对数的变化约为 $0.03$。

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   补上二次修正项。 再多留一项，

   $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}-\frac12\left(\frac{x-y}{y}\right)^{2}.$

   当 $x>y$ 时这个修正总是负的，说明一阶估计会系统性地高估上涨的对数值——因为对数函数是凹的。

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   说明另一个展开点，并把误差量化。 若改在 $x$ 处展开，会得到 $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{x}$，这个式子低估真值；两个单边估计把真值夹在中间，除以两者的中点比用其中任何一个都更准。数值上取 $x=10.3$、$y=10$：精确值是 $0.0295588$，一阶估计是 $0.03$（误差 $1.5\%$），二阶估计是 $0.029550$（误差 $0.03\%$）✓。