设 δ > 0 固定，求 ρ 趋于正无穷时 (2 arctan(ρ/δ)/π)^ρ 的极限，并判断该量减去 1 后取自然对数，对实数 ρ 是否可能有定义。

Step-by-step solution

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   先钉住有限 $\rho$ 时底数的取值范围。 对任何有限的 $\rho>0$ 和固定的 $\delta>0$，$\rho/\delta$ 都是有限的，所以严格地有 $\arctan\frac{\rho}{\delta}<\frac{\pi}{2}$——$\frac{\pi}{2}$ 只是一条水平渐近线，永远取不到。因此

   $0<\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}<1$

   这正是关键所在：底数是从下方趋于 $1$ 的，所以把它乘方到很高的次数会把它往下拽，而不会让它老老实实停在 $1$。

2. 2

   把底数写成 $1$ 减去一个小量。 用恒等式 $\arctan u+\arctan\frac{1}{u}=\frac{\pi}{2}$（$u>0$）：

   $\arctan\frac{\rho}{\delta}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{\delta}{\rho}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{\delta}{\rho}$

   当 $\rho\to+\infty$ 时 $\frac{\delta}{\rho}\to 0$，而 $\arctan u\sim u$，所以底数的行为就像 $1-\frac{2\delta}{\pi\rho}$。

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   套上经典的指数极限。 由 $\lim_{\rho\to\infty}\left(1-\frac{c}{\rho}\right)^{\rho}=e^{-c}$，取 $c=\frac{2\delta}{\pi}$ 得

   $\lim_{\rho\to+\infty}\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}=e^{-2\delta/\pi}$

   那句熟悉的提醒——$\left(1-\frac1n\right)^{n}\to e^{-1}$ 而不是 $1$——说的正是同一件事：底数趋于 $1$ 与指数趋于无穷在互相较劲，胜负由乘积 $\rho\cdot\frac{2\delta}{\pi\rho}$ 决定。

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   由此断定对数的真数是负的。 因为 $\delta>0$，所以 $0<e^{-2\delta/\pi}<1$，于是

   $\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}-1\ \longrightarrow\ e^{-2\delta/\pi}-1<0$

   而且对每一个有限的 $\rho>0$，底数本来就严格小于 $1$，所以方括号恒为负——不只是在极限处为负。负数的实对数没有定义，因此这个 $\ln$ 在实数范围内永远讲不通。

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   对两个结论都做数值验证。 取 $\delta=1$：$e^{-2/\pi}=0.5290778$，而原式在 $\rho=10$ 处是 $0.5191644$，$\rho=100$ 处是 $0.5280135$，$\rho=10^{3}$ 处是 $0.5289707$，$\rho=10^{7}$ 处是 $0.5290778$——正在收敛到预测值，显然不是收敛到 $1$。取 $\delta=3$，同样能达到目标值 $e^{-6/\pi}=0.1481012$。至于方括号，在 $\rho=0.1,1,10,1000$ 处分别算得 $-0.2410$、$-0.5000$、$-0.4808$、$-0.4710$：自始至终都是负的。