求当 x 趋于 −4 时 (x² − 16)/(x + 4) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先代入，判断极限属于哪一类。 在 $x=-4$ 处，

   $\frac{(-4)^2-16}{-4+4}=\frac{0}{0}$

   分子与分母在同一点为零，所以 $(x+4)$ 同时整除两者，这个间断点是可去的，而不是真正的发散。

2. 2

   把分子按平方差分解。 因为 $16=4^2$，

   $x^2-16=(x-4)(x+4)$

   这正是 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$，其中 $A=x$，$B=4$。

3. 3

   约去 $(x+4)$。 对每个 $x\ne -4$，

   $\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4$

   原式与直线 $y=x-4$ 在除 $x=-4$ 以外处处相同，而原式在该点没有定义——求极限恰恰不看这一个点。

4. 4

   对化简后的一次函数求值。

   $\lim_{x\to -4}(x-4)=-4-4=-8$

5. 5

   顺带看看图像长什么样。 原式的图像就是直线 $y=x-4$，只不过在 $(-4,-8)$ 处被挖掉一个点。极限 $-8$ 正是那个洞的高度，这也解释了为什么函数在该点没有取值，极限却依然有限。