求 e 的 −(x² + y²) 次方在区域 x² + y² ≤ 1 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先看清直角坐标为什么走不通。 用 $x$、$y$ 来算的话，内层积分是 $\int e^{-x^2}dx$，而这个原函数根本没有初等表达式。被积函数和积分区域都只依赖于到原点的距离，所以极坐标在这里不只是「更方便」——它是让这道题可解的关键。

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   被积函数、区域、面积元三样一起换。 令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$：

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,\qquad x^2+y^2\le 1\iff 0\le r\le 1$

   于是

   $\iint_{x^2+y^2\le 1}e^{-(x^2+y^2)}dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

   雅可比行列式多带出来的那个 $r$ 才是全部诀窍：它恰好就是做换元所需要的那个因子。

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   用 $u=r^2$ 做径向积分。 令 $u=r^2$，则 $du=2r\,dr$，即 $r\,dr=\tfrac12\,du$，且 $u$ 从 $0$ 变到 $1$：

   $\int_0^1 e^{-r^2}r\,dr=\frac12\int_0^1 e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^1=\frac12\left(1-e^{-1}\right)$

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   再对角度积分。 径向算出来的是个常数，绕一整圈贡献 $2\pi$：

   $\int_0^{2\pi}\frac12\left(1-e^{-1}\right)d\theta=2\pi\cdot\frac12\left(1-e^{-1}\right)=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

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   算出数值，再估一下范围是否合理。

   $\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx \pi(1-0.36788)\approx 1.9858$

   在单位圆盘上，被积函数从边缘的 $e^{-1}\approx 0.368$ 变到圆心的 $1$，而圆盘面积是 $\pi\approx 3.1416$。所以积分值必然介于 $0.368\pi\approx 1.156$ 与 $\pi\approx 3.142$ 之间，$1.9858$ 确实落在其中 $\checkmark$。把同样的算法推广到 $r\to\infty$ 就得到 $\pi$，这正是 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ 背后的经典结论。