微分方程 y′ + y/x = 18x + 4 的解可以写成 kx² + hx − sy + C/x = 0。若 s 是小于 3 的正整数，求 k、h 和 s。

Step-by-step solution

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   判断方程类型，并造出积分因子。 这是一阶线性方程的标准形式 $y'+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)=1/x$、$Q(x)=18x+4$。积分因子是

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int dx/x}=e^{\ln|x|}=x.$

   引入 $\mu$ 的全部意义就在于：乘上它以后，等号左边正好变成一个完整的导数。

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   两边同乘，并认出乘积求导法则。

   $xy'+y=18x^{2}+4x.$

   左边恰好就是 $\dfrac{d}{dx}(xy)$——这一步同时也在检验积分因子有没有算对。于是

   $(xy)'=18x^{2}+4x.$

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   两边各积分一次。

   $xy=\int(18x^{2}+4x)\,dx=6x^{3}+2x^{2}+C,$

   再两边除以 $x$，

   $y=6x^{2}+2x+\frac{C}{x}.$

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   整理成题目要求的形状。 把 $y$ 移到左边，

   $6x^{2}+2x-y+\frac{C}{x}=0.$

   与 $kx^{2}+hx-sy+C/x=0$ 逐项对照，就必须有 $k=6$、$h=2$、$s=1$。「$s$ 是小于 $3$ 的正整数」这个限制正是用来把归一化方式定死的：整个方程可以乘上任意常数，而只有 $s=1$（若取 $s=2$ 就得配 $k=12$、$h=4$）才能让 $C/x$ 的系数保持题面写着的 $1$。

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   代回原方程验证。 由 $y=6x^{2}+2x+Cx^{-1}$ 得 $y'=12x+2-Cx^{-2}$，于是

   $y'+\frac{y}{x}=12x+2-\frac{C}{x^{2}}+6x+2+\frac{C}{x^{2}}=18x+4.$

   含 $C$ 的项对任意 $C$ 都相消，说明这确实是通解。数值上取 $C=1.7$、$x=2.3$，得 $y'+y/x=45.4$，而 $18(2.3)+4=45.4$。