计算 (x + 3)/(x² − 5x + 6) 关于 x 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分母分解，好挑对方法。

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   两个互不相同的一次因式，意味着被积函数可以拆成两个分子是常数的简单分式 —— 不会碰上重根或不可约二次式那些麻烦。分子的次数（$1$）本来就低于分母的次数（$2$），所以不必先做长除法。

2. 2

   列出部分分式分解。

   $\frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

   两边同乘 $(x-2)(x-3)$，把分母清掉：

   $x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$

3. 3

   代入根来求 A 和 B。 最快的走法是代入那些能一次干掉一个括号的值。令 $x = 3$：

   $6 = B(3 - 2) \ \Longrightarrow \ B = 6$

   令 $x = 2$：

   $5 = A(2 - 3) \ \Longrightarrow \ A = -5$

   （改用待定系数法比对系数，得到的是同一个方程组 $A + B = 1$、$-3A - 2B = 3$。）

4. 4

   积分之前先验证这个分解。 取 $A = -5$、$B = 6$：

   $\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{-5(x-3) + 6(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} \ \checkmark$

   这里检查只花一行，却能在符号错误蔓延进积分之前就把它拦下。

5. 5

   逐项积分。 每一项都是 $\int \frac{k}{x - a}\,dx = k\ln|x - a|$ 的形式：

   $\int \left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right) dx = -5\ln|x - 2| + 6\ln|x - 3| + C$

   绝对值不能省：这个原函数是在 $x < 2$、$2 < x < 3$、$x > 3$ 这三个区间上分别成立的。

6. 6

   最后求导回去检验。

   $\frac{d}{dx}\left(-5\ln|x-2| + 6\ln|x-3|\right) = \frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{x+3}{x^2 - 5x + 6} \ \checkmark$

   在 $x = 5$ 处做数值抽查，两种写法都给出 $\frac{8}{6} = 1.3\overline{3}$。答案也可以合并写成 $\ln\left|\frac{(x-3)^6}{(x-2)^5}\right| + C$。