求 y = cos√(2x + 1) 的导数，并说明它在哪里存在。

Step-by-step solution

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   先分清层次，同时把定义域定下来。 这是一个三层复合：$y=\cos u$，$u=\sqrt{v}$，$v=2x+1$。要让 $y$ 有定义就需要 $2x+1\ge 0$，即 $x\ge-\frac12$；而导数还要把不等号变严格，即 $x>-\frac12$，因为 $\sqrt{v}$ 在 $v=0$ 处的斜率是无穷大。

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   先对最外层求导。

   $\frac{dy}{du}=-\sin u=-\sin\sqrt{2x+1}$

   这个负号来自余弦的导数，千万不能丢。

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   再对里面的根号求导，这里第二次用到链式法则。 把 $\sqrt{2x+1}$ 写成 $(2x+1)^{1/2}$：

   $\frac{du}{dx}=\frac12(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

   由 $\frac{d}{dx}(2x+1)$ 得到的因子 $2$，恰好把幂法则里的 $\frac12$ 约掉——这是系数正好等于 $2$ 时才有的巧合。

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   把两个变化率相乘。

   $y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=-\sin\sqrt{2x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{\sin\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

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   做数值检验，并看看端点处的情况。 取 $x=4$：$\sqrt{9}=3$，所以 $y'=-\frac{\sin 3}{3}=-\frac{0.1411200}{3}=-0.0470400$；而 $\cos\sqrt{2x+1}$ 在 $x=4$ 处的中心差商给出 $-0.0470400$ ✓。在 $x=-\frac12$ 处函数本身有定义（$y=\cos 0=1$），但分母为零，所以图像在那里有一条竖直切线，$y'$ 不存在。