设 C 是满足 x^2 + y^2 ≥ z^2 且 x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4 的点集。用球坐标求 C 的体积。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出这两张曲面。 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 是半径为 $2$ 的球面，$x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 是过原点、半顶角为 $45^\circ$ 的双锥面。所求区域是球体中位于锥面外部的那一部分——相当于从球的上下各挖掉一个甜筒。

2. 2

   把两个条件都翻译到球坐标里。 取 $x=\rho\sin\phi\cos\theta$、$y=\rho\sin\phi\sin\theta$、$z=\rho\cos\phi$：

   $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\phi,\qquad z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\phi,$

   于是 $x^{2}+y^{2}\ge z^{2}$ 变成 $\sin^{2}\phi\ge\cos^{2}\phi$，也就是 $\tan^{2}\phi\ge 1$，即

   $\frac{\pi}{4}\le\phi\le\frac{3\pi}{4}.$

   球面的条件则简单地成了 $\rho\le 2$。这正是该选球坐标的理由：两张曲面都变成了坐标的上下限。

3. 3

   带上正确的雅可比因子列出积分。 体积元是 $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$：

   $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

   三对积分限全是常数，所以这个三重积分可以拆成三个独立的一元积分。

4. 4

   逐个因子算出来。

   $\int_{0}^{2}\rho^{2}d\rho=\frac{8}{3},\qquad \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin\phi\,d\phi=\left[-\cos\phi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.$

5. 5

   把三个结果乘起来。

   $V=\frac{8}{3}\cdot\sqrt2\cdot 2\pi=\frac{16\sqrt2\,\pi}{3}\approx 23.695.$

6. 6

   拿整个球体来核对。 半径为 $2$ 的整球体积是 $\tfrac{4}{3}\pi(8)=\tfrac{32\pi}{3}\approx 33.51$，所以这个区域保留了其中的 $\tfrac{16\sqrt2/3}{32/3}=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx 70.7\%$。挖掉两个 $45^\circ$ 的锥，本就该咬掉可观但不到一半的份额，所以剩下 $70.7\%$ 在数量级上完全对得上。