求 x 趋于 2 时 (√(3x − 2) − 2) 除以 (√x − √2) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认这是未定式。 在 $x=2$ 处，分子是 $\sqrt{6-2}-2 = 2-2 = 0$，分母是 $\sqrt2-\sqrt2 = 0$，所以是 $\tfrac00$ 型，直接代入行不通。

2. 2

   令 t = 根号 x，把分母化成线性。 取 $x=t^2$，且 $t\to\sqrt2$，于是 $\lim_{t\to\sqrt2}\frac{\sqrt{3t^2-2}-2}{t-\sqrt2}.$ 分母写成 $t-c$ 这种线性形式，正是导数的标志。

3. 3

   认出这就是差商。 令 $f(t)=\sqrt{3t^2-2}$。则 $f(\sqrt2)=\sqrt{6-2}=2$，于是整个式子恰好是 $\frac{f(t)-f(\sqrt2)}{t-\sqrt2} \longrightarrow f'(\sqrt2).$

4. 4

   用链式法则求导。 $f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2-2)^{-1/2}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2-2}}.$

5. 5

   在 t = 根号 2 处求出导数值。 $f'(\sqrt2) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt{3\cdot2-2}} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2.121320.$

6. 6

   改用有理化交叉验证。 同乘 $\dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt x+\sqrt2}$，这个商就变成 $\dfrac{3(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt{3x-2}+2}$，在 $x=2$ 处给出 $3\cdot\dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac{3\sqrt2}{2}$——同一个值。把原式在 $x=2.000001$ 处求值得到 $2.1213202$，数值上也吻合。