求使 y = (x + 4)/(x + m) 在区间 (−∞, −7) 上单调递增的全部实数 m。

Step-by-step solution

1. 1

   用分式线性函数的求导公式。 对 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 有 $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$，这里 $a=1$、$b=4$、$c=1$、$d=m$：

   $y'=\frac{m-4}{(x+m)^{2}}$

2. 2

   给出符号条件。 分母是平方，在 $y$ 有定义处恒为正，所以「递增」就等价于

   $m-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad m>4$

3. 3

   给出极点条件。 函数在 $x=-m$ 处有一条垂直渐近线。要在整个区间 $(-\infty,-7)$ 上递增，这条渐近线必须落在区间之外：

   $-m\notin(-\infty,-7)\quad\Longleftrightarrow\quad -m\ge -7\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 7$

   注意端点是可以取到的：$m=7$ 时极点恰好在 $x=-7$，而它并不是开区间 $(-\infty,-7)$ 的内点。

4. 4

   把两个条件取交集。

   $4<m\le 7$

   $\boxed{m\in(4,\,7]}$

5. 5

   把三个边界情形都试一遍。 $m=4$ 时 $y=\tfrac{x+4}{x+4}=1$ 是常数，并不递增 ✗，所以 $4$ 要排除。$m=7$ 时 $y=\tfrac{x+4}{x+7}$，在 $(-\infty,-7)$ 上 $y'=\tfrac{3}{(x+7)^{2}}>0$ ✓，所以 $7$ 要包含进来。$m=8$ 时极点 $x=-8$ 落在 $(-\infty,-7)$ 内部，函数在那里断开，整个区间上就谈不上递增 ✗。

6. 6

   总结一下这里的规律。 对 $y=\dfrac{x+p}{x+m}$ 在 $(-\infty,-q)$ 上递增（其中 $q>p>0$），同样这两个条件给出 $p<m\le q$——所以答案永远是右端闭合的半开区间 $(p,q]$。