求 n 从 1 到无穷时 1/(n · 2ⁿ) 的无穷级数和。

Step-by-step solution

1. 1

   求和之前先判断收敛。 各项为正，且 $\frac{1}{n2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}$，而后者的和是收敛的等比级数 $\sum 2^{-n} = 1$。所以级数收敛，且和不超过 $1$——这个上界待会儿正好用来核对最终结果。

2. 2

   回忆对数级数（墨卡托级数）。 当 $|x| < 1$ 时，

   $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$

   它就是等比级数 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n \ge 0} x^{n}$ 的原函数，把右边逐项从 $0$ 积到 $x$ 得来。

3. 3

   把题目里的通项改写成同样的形式。 把 $2^{n}$ 拆成单个数的幂：

   $\frac{1}{n\,2^{n}} = \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n}$

   于是这个级数恰好就是 $\sum_{n\ge1} \frac{x^{n}}{n}$ 取 $x = \tfrac12$ 的情形，稳稳落在收敛半径之内。

4. 4

   代入 x = 1/2。

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = -\ln\frac12$

5. 5

   化简这个对数。 因为 $\ln\tfrac12 = -\ln 2$，所以

   $-\ln\frac12 = \ln 2$

   $\Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,2^{n}} = \ln 2$

6. 6

   数值上确认一下。 把前两百项加起来得到 $0.6931471805599453$，而 $\ln 2 = 0.6931471805599453$——在双精度范围内完全一致，也确实小于第一步给出的上界 $1$。