证明：每个实数列都有单调子列。

Step-by-step solution

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   先定义关键概念：峰点。 如果下标 $n$ 满足

   $a_n\ge a_m\quad\text{对每个 }m>n$

   也就是后面的项永远不会超过 $a_n$，就称 $n$ 是这个数列的峰点。任何一个下标要么是峰点要么不是，所以整个证明只分成两种情形——这个二分法就是全部思路。

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   情形 1：峰点有无穷多个。 把它们从小到大列为 $n_1<n_2<n_3<\cdots$。因为 $n_k$ 是峰点而 $n_{k+1}>n_k$，由峰点的定义就得到

   $a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}$

   对每个 $k$ 都成立，所以 $\{a_{n_k}\}$ 是一个非增子列。这种情形已经证完。

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   情形 2：峰点只有有限个。 取 $N$ 比所有峰点都大，于是任何下标 $n\ge N$ 都不是峰点。按照「不是峰点」的定义，对每个这样的 $n$，都存在某个 $m>n$ 使得

   $a_m>a_n$

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   递归地构造出一个严格递增子列。 令 $n_1=N$。由于 $n_1$ 不是峰点，可以选出 $n_2>n_1$ 使 $a_{n_2}>a_{n_1}$。又因为 $n_2\ge N$ 同样不是峰点，再选出 $n_3>n_2$ 使 $a_{n_3}>a_{n_2}$，如此继续下去。这样就得到一串下标 $n_1<n_2<n_3<\cdots$，满足

   $a_{n_1}<a_{n_2}<a_{n_3}<\cdots$

   也就是一个严格递增的子列。

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   下结论。 两种情形下都存在单调子列，而这两种情形已经穷尽了所有可能，所以

   $\boxed{\text{每个实数列都有单调子列}}$

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   说明它的推论，并检验几个边界例子。 再配上「有界单调数列必收敛」这一事实，马上就能推出 Bolzano–Weierstrass 定理。对命题本身做两个直观检验：取 $a_n=(-1)^n$，峰点就是所有偶数下标（无穷多个），给出常数子列 $1,1,1,\ldots$——它当然是非增的；取 $a_n=n$ 则根本不存在峰点，情形 2 给出递增子列 $1,2,3,\ldots$。注意定理断言的是单调，而不是收敛：无界数列有单调子列，却没有收敛子列。