求从 n = 1 到无穷的级数 Σ (−1)ⁿ (1/n − 1/(n+2)) xⁿ 的收敛区间。

Step-by-step solution

1. 1

   先把系数通分成一个分数。 取公分母 $n(n+2)$：

   $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$

   对 $n$ 一直取到 $59$ 都精确验证过 ✓。写成这个形式，衰减速度一目了然，而原来的差式把它藏起来了。

2. 2

   把符号并进变量里。 因为 $(-1)^{n}x^{n}=(-x)^{n}$，级数就是

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+2)}(-x)^{n}$

   这是关于 $-x$ 的幂级数，系数全为正——分析起来更简单，而且关于 $x$ 的区间本来就是对称的。

3. 3

   用比值判别法求收敛半径。 取 $c_{n}=\dfrac{2}{n(n+2)}$，

   $\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\longrightarrow1$

   （数值上 $n=10$ 时为 $0.8392$，$n=100$ 时为 $0.98049$，$n=1000$ 时为 $0.998005$ ✓）。所以收敛半径 $R=1$：当 $|x|<1$ 时收敛，$|x|>1$ 时发散。两个端点需要单独讨论。

4. 4

   检验 $x=1$。 此时通项变成 $\dfrac{2(-1)^{n}}{n(n+2)}$，而

   $\frac{2}{n(n+2)}\sim\frac{2}{n^{2}}$

   与收敛的 $p$ 级数 $\sum n^{-2}$（$p=2>1$）作比较，可知级数绝对收敛 ✓。

5. 5

   检验 $x=-1$。 此时 $(-x)^{n}=1$，级数变成可裂项相消的正项级数

   $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac12=\frac32$

   因为中间各项两两抵消，且 $\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}\to0$。取到 $n=19999$ 的部分和为 $1.49990$ ✓，确认收敛到 $\tfrac32$。

6. 6

   写出区间。 两个端点都收敛，所以

   $[-1,1]$

   就是收敛区间——是个闭区间，这要归功于系数按 $1/n^{2}$ 量级衰减。如果系数只按 $1/n$ 衰减，得到的就会是半开区间了。