求当 x 趋于 0 时 (e^x − 1)/x 的极限。

Step-by-step solution

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   先看形式。 把 $x=0$ 代进去得 $\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$，是未定式。直接代入这条路走不通，只能用几条标准途径之一来确定极限。

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   方法一——认出它是一个导数。 函数 $f(x)=e^{x}$ 在点 $0$ 处的差商恰好就是这个表达式：

   $f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

   因为 $f^{\prime}(x)=e^{x}$，所以 $f^{\prime}(0)=e^{0}=1$，极限就是 $1$。这是最本质的看法：这个极限就等于「$e^x$ 在原点处的斜率是 $1$」这句话。

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   方法二——用麦克劳林展开。 由 $e^{x}=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$，

   $\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots\longrightarrow 1$

   这条路给出的信息比极限本身还多：它表明这个商是线性地趋近 $1$ 的，形如 $1+\tfrac{x}{2}$。

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   方法三——洛必达法则。 对上下分别求导：

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=1$

   要注意，若拿它来证明这个结果，多少有点循环论证，因为算 $\tfrac{d}{dx}e^x$ 本身就依赖于这个极限。不过作为一种计算手段，它既快又对。

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   数值确认，并留意两侧的一致性。 取 $x=0.001$，商是 $1.0005002$；取 $x=-0.001$，商是 $0.9995002$。两侧都趋向 $1$，而偏差恰是 $\pm 0.0005\approx\tfrac{x}{2}$，与级数的预言分毫不差 $\checkmark$。