求不定积分 ∫ cos x · sin(5 sin x + 2) dx。

Step-by-step solution

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   先找一个导数已经现成出现在式子里的内层函数。 复合的那一块是 $\sin\left(5\sin x+2\right)$，内层函数为 $5\sin x+2$，它的导数是 $5\cos x$；而 $\cos x$ 正好摆在复合函数外面——这恰恰是换元法专门用来对付的形态。

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   作换元。 令

   $u=5\sin x+2\quad\Longrightarrow\quad du=5\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx=\frac{1}{5}\,du$

   解出来的是 $\cos x\,dx$（而不是单独解出 $dx$），这才能让所有的 $x$ 都消失干净。

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   把积分整个改写成关于 u 的式子。

   $\int \sin(u)\cdot\frac15\,du=\frac15\int\sin u\,du$

4. 4

   积出来。

   $\frac15\int\sin u\,du=\frac15(-\cos u)+C=-\frac{\cos u}{5}+C$

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   换回原来的变量。

   $\boxed{-\frac{1}{5}\cos\left(5\sin x+2\right)+C}$

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   求导验算。 由链式法则，

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac15\cos\left(5\sin x+2\right)\right]=-\frac15\cdot\left(-\sin\left(5\sin x+2\right)\right)\cdot 5\cos x=\cos x\,\sin\left(5\sin x+2\right)$

   正是原来的被积函数 ✓。注意两个 $5$ 恰好抵消——这提醒我们答案里的 $\tfrac15$ 可不是可有可无的。