求 x² · sin(x) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   选 $u$ 时要让求导把多项式降次。 在 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 中，目标是让剩下的那个积分更简单。取 $u=x^{2}$，则 $du=2x\,dx$，次数从 $2$ 降到 $1$；如果反过来取 $u=\sin x$，多项式的次数反而会升高，越搞越糟。这就是 LIATE 口诀的实际用法——该求导的是代数因子。

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   第一次分部积分。 取 $u=x^{2}$、$dv=\sin x\,dx$（于是 $v=-\cos x$）：

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x-\int\left(-\cos x\right)(2x)\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

   两个负号——一个来自 $v=-\cos x$，一个来自公式本身——合起来变成正号，符号错误通常就是在这里溜进来的。

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   对剩下的积分再用一次。 对 $\int x\cos x\,dx$ 取 $u=x$、$dv=\cos x\,dx$，则 $du=dx$、$v=\sin x$：

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$

   多项式的次数已经降到 $0$，过程到此结束——$n$ 次多项式恰好需要 $n$ 轮分部积分。

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   把各部分拼起来。 把第二步的结果乘上系数 $2$ 再代回：

   $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x,$

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

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   求导验证。 对每一项用乘积法则：

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{2}\cos x\right)=-2x\cos x+x^{2}\sin x,\quad \frac{d}{dx}\left(2x\sin x\right)=2\sin x+2x\cos x,\quad \frac{d}{dx}\left(2\cos x\right)=-2\sin x.$

   相加后，$\mp2x\cos x$ 这一对抵消，$\pm2\sin x$ 这一对也抵消，剩下的正是 $x^{2}\sin x$ ✓。在 $x=1.3$ 处数值检验，两边都得到 $1.6284133$ ✓。