求 e^(6x) 关于 x 的积分。

Step-by-step solution

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   先想清楚那个系数是从哪来的。 对 $e^{6x}$ 求导会把内层导数带出来：

   $\frac{d}{dx}e^{6x}=6e^{6x}$

   所以积分必须把这个多出来的 $6$ 抵消掉。

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   写出公式。 对任何非零常数 $k$：

   $\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$

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   取 $k=6$ 代入。

   $\int e^{6x}\,dx=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

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   再用换元法推一遍作为交叉验证。 令 $u=6x$，则 $du=6\,dx$，$dx=\tfrac{du}{6}$：

   $\int e^{u}\frac{du}{6}=\frac{1}{6}e^{u}+C=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

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   求导验证。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac16 e^{6x}\right)=\tfrac16\cdot 6e^{6x}=e^{6x}$ $\checkmark$。再看数值，取 $x=0.3$：被积函数是 $e^{1.8}\approx 6.0496$，而对 $\tfrac16 e^{6x}$ 作差商也得到同样的值 $\checkmark$。