化简 (cos x − cos³x)/x²，并求 x 趋于 0 时的极限。

Step-by-step solution

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   先看清类型。 在 $x=0$ 处分子是 $1-1=0$，分母也是 $0$，所以这个商是 $\tfrac00$ 型 —— 属于未定式，必须先化简才能把极限读出来。

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   分解分子。 两项都含有公因子 $\cos x$：

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\left(1-\cos^{2}x\right).$

   把公因子提出来，正好把藏在括号里的勾股恒等式暴露出来。

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   用勾股恒等式。 由 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 得 $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$，于是

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\,\sin^{2}x,$

   整个式子就变成 $\dfrac{\cos x\sin^{2}x}{x^{2}}$。这下分母的 $x^{2}$ 有了显而易见的搭档：$\sin^{2}x$。

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   拆成标准的部件。 把 $\sin^{2}x$ 与 $x^{2}$ 配到一起：

   $\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=\cos x\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.$

   这就是化简后的形式，对一切 $x\ne 0$ 都成立；而且它完全由那些在 $0$ 处极限已知的量拼成。

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   取极限。 用 $\lim_{x\to0}\cos x=1$ 和重要极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，再配合乘积与乘方的运算法则：

   $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=1\cdot 1^{2}=1.$

   数值验证：$x=0.1$ 时商为 $0.99169$，$x=0.01$ 时为 $0.999917$，$x=0.001$ 时为 $0.99999917$ ✓ —— 从下方收敛到 $1$，这正是 $\cos x<1$ 所预示的。