先说明 lim(x→+∞) ln x / √x 属于哪种不定式，再用洛必达法则求出这个极限。

Step-by-step solution

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   判断不定式的类型。 当 $x\to+\infty$ 时，$\ln x \to +\infty$，$\sqrt{x} \to +\infty$，所以这个商是 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型。它正是洛必达法则可以直接处理的两种类型之一。

2. 2

   分子、分母分别求导。 洛必达法则是把 $\dfrac{f}{g}$ 换成 $\dfrac{f'}{g'}$——这不是商的求导法则，把两者搞混是最经典的错误：

   $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad g(x) = x^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

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   写出新的商并化简。

   $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

   这一步化简才是法则真正见效的地方：新式子已经不再是不定式了。

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   求极限。

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

   所以原极限也是 $0$。用一次法则就够了。

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   解读这个结果。 它就是那句标准结论：对数的增长比 $x$ 的任何正次幂都慢，即对每个 $p > 0$ 都有 $\ln x = o(x^{p})$。这里 $p = \tfrac12$，同样的论证对任何 $p$ 都成立。

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   数值验证。 取 $x = 10^4$：$\dfrac{\ln 10^4}{\sqrt{10^4}} = \dfrac{9.2103}{100} = 0.092103$。取 $x = 10^8$：$\dfrac{18.4207}{10^4} = 0.00184207$。取 $x = 10^{16}$：$\dfrac{36.8414}{10^8} = 3.68\times10^{-7}$ ✓——一路递减趋向 $0$，符号计算给出的极限也正好是 $0$。