在正方形 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上，计算 √(2x − x²) 与 1 − y 中较大者的二重积分。

Step-by-step solution

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   先认出根式其实是一个圆。 配方得 $2x-x^2=1-(x-1)^2$，所以 $\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}$ 是以 $(1,0)$ 为圆心的上半单位圆。在 $0\le x\le 1$ 上，它从 $0$ 升到 $1$。

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   换元把图形摆正。 令 $u=1-x$，$v=1-y$。雅可比行列式的绝对值为 $1$，正方形映到它自身，于是积分变成 $\iint_{[0,1]^2}\max\left\{\sqrt{1-u^2},\,v\right\}du\,dv$。

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   沿四分之一圆弧把正方形切开。 两个候选量相等，当且仅当 $v=\sqrt{1-u^2}$，也就是那条四分之一圆弧。弧线下方是根式更大，上方是 $v$ 更大。在这里切开，正是为了把 max 去掉。

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   先算下面那块。 对每个 $u$，$v$ 从 $0$ 跑到 $\sqrt{1-u^2}$，被积函数是常数 $\sqrt{1-u^2}$，贡献为 $\int_0^1\left(1-u^2\right)du=1-\frac13=\frac23$。

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   再算上面那块。 对每个 $u$，$v$ 从 $\sqrt{1-u^2}$ 跑到 $1$，被积函数是 $v$，得到 $\int_0^1\frac{1-\left(1-u^2\right)}{2}du=\int_0^1\frac{u^2}{2}du=\frac16$。

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   相加并验证。 总和是 $\frac23+\frac16=\frac56$。对原被积函数用 $4000\times4000$ 网格的中点法则数值积分，得到 $0.83333333$，与 $\frac56$ 吻合。