证明无穷乘积 ∏(1 + x/n²)（n 从 1 到 ∞）对每个 x > 0 都收敛，并求当 x → ∞ 时该乘积的对数除以 √x 的极限。

Step-by-step solution

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   先把乘积化成级数。 所有因子都大于 $1$，所以这个乘积收敛当且仅当 $\ln P(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)$ 收敛。乘积很难直接估界；取对数之后，比较判别法就能用上了。

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   与 $p$ 级数作比较。 对 $u\ge 0$ 有初等不等式 $\ln(1+u)\le u$，于是 $0\le\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\le\frac{x}{n^2}.$ 由于 $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ 收敛，比较判别法迫使 $\ln P(x)$ 对每一个固定的 $x>0$ 都收敛，从而原乘积收敛。

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   认出它的闭式表达。 欧拉关于双曲正弦的乘积公式 $\frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right),$ 取 $z=\sqrt{x}$ 即可套用，于是 $P(x)=\frac{\sinh(\pi\sqrt{x})}{\pi\sqrt{x}}.$ 在 $x=2$ 处两边都等于 $9.56675$，在 $x=9$ 处两边都等于 $657.397$。

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   取对数，把增长的主项分离出来。 利用 $\sinh w=\tfrac12(e^{w}-e^{-w})$， $\ln P(x)=\pi\sqrt{x}-\ln 2-\ln\!\left(\pi\sqrt{x}\right)+\ln\!\left(1-e^{-2\pi\sqrt{x}}\right).$ 主项是 $\pi\sqrt{x}$，其余各项都是 $O(\ln x)$ 量级。

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   除以 $\sqrt{x}$ 再取极限。 $\frac{\ln P(x)}{\sqrt{x}}=\pi-\frac{\ln 2+\ln(\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+o(1)\longrightarrow\pi.$ 换个角度看，这个和正是步长为 $1/\sqrt{x}$ 的黎曼和，对应 $\int_0^{\infty}\ln(1+t^{-2})\,dt=\pi$。在 $x=10^{6}$ 处直接求和得到 $3.13285$，正如 $\ln x/\sqrt{x}$ 这个修正项所预示的，它向 $\pi$ 收敛得很慢。