求 x 趋于 2 时 (x² − 3x + 2) / (√(5 − x) − √(x + 1)) 的极限。

Step-by-step solution

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   先确认这是未定式。 代入 $x=2$：分子是 $4-6+2=0$，分母是 $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$。所以整个式子是 $\tfrac00$ 型——现在还没有值，但上下同时为零意味着两边都藏着公因式 $(x-2)$，等着被约掉。

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   分解分子。 乘积为 $2$、和为 $-3$ 的两个数是 $-1$ 和 $-2$：

   $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

3. 3

   用共轭式给分母有理化。 分子分母同乘 $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}$，把根式之差变成平方差：

   $\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)=(5-x)-(x+1)=4-2x$

   根号全部消失，只剩一个一次式，而那个碍事的零点就明摆在里面：$4-2x=-2(x-2)$。

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   约掉公因式。 式子变成

   $\frac{(x-1)(x-2)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{-2(x-2)}=-\frac{(x-1)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}$

   它对 $x\neq2$ 成立——而求极限要的恰好就是这些点，因为极限描述的是该点附近的行为，而不是该点本身。这个代数形式在 $x=1.5,1.9,2.1,2.5$ 处与原式核对过，误差在 $10^{-9}$ 以内 ✓。

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   奇点没有了，现在可以直接代入。 化简后的函数在 $x=2$ 处连续：

   $-\frac{(2-1)\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$

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   从两侧做数值验证。 在 $x=2\pm10^{-7}$ 处，原式的商分别是 $-1.73205097$ 和 $-1.73205063$，把 $-\sqrt{3}=-1.7320508$ 夹在中间 ✓。两侧结果一致，确认极限存在且等于

   $-\sqrt{3}\approx-1.7321$