计算 xyz 乘以 e 的 −(x + y + z) 次幂在区域 0 ≤ x ≤ k、0 ≤ y ≤ k − x、0 ≤ z ≤ k − x − y 上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先认出积分区域是一个四面体。 这组嵌套的积分限描述的正是条件

   $x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0, \quad x + y + z \le k$

   也就是以原点及 $(k,0,0)$、$(0,k,0)$、$(0,0,k)$ 为顶点的单纯形。这样看问题，才能把只依赖 $x+y+z$ 的那个指数因子沿着等值面提出来。

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   利用「指数因子在每张切片上是常数」这一点。 记 $u = x + y + z$。在 $x+y+z = u$ 这张切片上因子 $e^{-u}$ 是常数，所以只要知道每张切片上 $xyz$ 的「总量」，整个积分就化成关于 $u$ 的一元积分。

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   算出 xyz 在子单纯形上的权重。 由标度律得

   $\int_{x+y+z\le u} xyz\,dV = \frac{u^6}{720}$

   （三次齐次的被积函数在三维区域上，按 $u^{3+3} = u^6$ 标度；系数 $\frac{1}{720} = \frac{1!\,1!\,1!}{6!}$ 来自狄利克雷积分公式）。对 $u$ 求导就得到切片上的密度 $\frac{u^5}{120}$。

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   化归为一元积分。

   $I = \frac{1}{120}\int_0^k u^5 e^{-u}\,du$

   这是一个不完全伽马积分，反复分部积分（或直接查标准原函数）给出

   $\int u^5 e^{-u}\,du = -e^{-u}\left(u^5 + 5u^4 + 20u^3 + 60u^2 + 120u + 120\right)$

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   在 0 到 k 之间取值。

   $\int_0^k u^5 e^{-u}\,du = 120 - e^{-k}\left(k^5 + 5k^4 + 20k^3 + 60k^2 + 120k + 120\right)$

   再除以 $120$：

   $I = 1 - e^{-k}\left(1 + k + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{6} + \frac{k^4}{24} + \frac{k^5}{120}\right)$

   括号里正是 $e^{k}$ 的麦克劳林级数的前六项——这就是正规化不完全伽马函数 $P(6, k)$，等价地说，也就是均值为 $k$ 的泊松随机变量取值不小于 $6$ 的概率。

6. 6

   作数值检验，并看两端的极限。 当 $k \to \infty$ 时 $I \to 1$；当 $k \to 0$ 时 $I \to 0$。在四面体上直接作嵌套数值积分，$k = 1$ 时得 $0.0005941848$，$k = 2.5$ 时得 $0.0420210382$，$k = 5$ 时得 $0.3840393452$，每一个都与封闭形式吻合到小数点后十位。