求 −8·cos(0.8·t²) 关于 t 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先认清它没有初等原函数。 由刘维尔定理，$\cos(at^{2})$ 的原函数无法用初等函数表示——这与 $\int e^{-t^{2}}dt$ 不是初等函数是同一种障碍。所以目标并不是靠换元「凑出」一个公式，而是用为此专门定义的标准特殊函数把答案写出来。

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   回忆菲涅耳余弦积分的定义。 标准的归一化写法是

   $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi u^{2}}{2}\right)du,$

   且 $C(0)=0$。任何形如 $\int\cos(at^{2})\,dt$ 的积分都能通过缩放化成这个形状；要做的只是找对换元。

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   把辐角缩放到标准形式。 把 $0.8$ 写成 $\tfrac45$，并寻找 $u=\lambda t$ 使 $\frac{\pi u^{2}}{2}=\frac45 t^{2}$。这就要求

   $\frac{\pi\lambda^{2}}{2}=\frac{4}{5}\;\Longrightarrow\;\lambda=\sqrt{\frac{8}{5\pi}},$

   又因为 $dt=\frac{du}{\lambda}$，于是一般地有

   $\int\cos(at^{2})\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\;C\!\left(\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

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   代入 $a=\tfrac45$ 并把常数化简。 前面的系数是

   $\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot\frac45}}=\sqrt{\frac{5\pi}{8}},$

   再乘上被积函数前面的 $-8$：

   $-8\sqrt{\frac{5\pi}{8}}=-\frac{8}{2\sqrt2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{10\pi}.$

   $8/\sqrt8=\sqrt8=2\sqrt2$ 这一步化简，是这里唯一可能出错的代数。

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   写出答案并求导核对。 结果是

   $\int-8\cos(0.8t^{2})\,dt=-2\sqrt{10\pi}\;C\!\left(\sqrt{\frac{8}{5\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

   求导：$\frac{d}{dt}C(\lambda t)=\lambda\cos\!\left(\frac{\pi\lambda^{2}t^{2}}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}\cos(0.8t^{2})$，而 $-2\sqrt{10\pi}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}=-2\sqrt{16}=-8$ ✓。如果「0,8」里的逗号本意是千分位分隔符，被积函数就成了 $\cos(8t^{2})$，答案相应变为 $-2\sqrt{\pi}\,C\!\left(\tfrac{4t}{\sqrt{\pi}}\right)$。