求 f(x) = x/(x^2 + 1) 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   列出商的求导法则。 取 $u=x$，$v=x^2+1$，

   $f'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad u'=1,\qquad v'=2x$

   分子里的顺序很关键：是分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，绝不能反过来。另外注意 $v=x^2+1\ge1>0$ 处处成立，所以 $f$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上都有定义且可导。

2. 2

   代入公式。

   $f'(x)=\frac{(1)\left(x^2+1\right)-(x)(2x)}{\left(x^2+1\right)^2}$

3. 3

   化简分子。

   $x^2+1-2x^2=1-x^2$

   于是

   $f'(x)=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$

   两处的 $x^2$ 部分抵消了 —— 正是这一步把一个繁杂的式子变得干净。

4. 4

   直接从答案里读出极值点。 分母恒为正，所以 $f'$ 的符号就是 $1-x^2=(1-x)(1+x)$ 的符号。它在 $(-1,1)$ 上为正、在区间外为负，于是在 $x=-1$ 处取得极小值（此时 $f=-\tfrac12$），在 $x=1$ 处取得极大值（此时 $f=\tfrac12$）。

5. 5

   看一看两端的走向。 当 $|x|\to\infty$ 时分母按 $x^2$ 增长而分子只按 $x$ 增长，所以 $f(x)\to0$：$x$ 轴是两个方向上的水平渐近线，而 $\pm\tfrac12$ 就是全局的最值。

6. 6

   数值验证。 用步长 $10^{-7}$ 的对称差商与解析式对照：在 $x=0.4$ 处两者都是 $0.624257$；在 $x=-1.7$ 处都是 $-0.124900$；在 $x=3.3$ 处都是 $-0.069957$ ✓。