求当 x 趋于 0 时 (1 − cos x)/(1 − e^x) 的极限。

Step-by-step solution

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   先确认它确实是 $\tfrac{0}{0}$ 型。 在 $x=0$ 处上下都为零：$1-\cos 0=0$，$1-e^{0}=0$。所以这个商是未定式，必须做些工作——一个常见的错误直觉是答 $1$，理由是「两个都同时趋于零」，可它们并不同步：它们趋于零的速度不一样。

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   用麦克劳林展开比较速度。 各保留首项：

   $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad 1-e^{x}=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots$

   分子关于 $x$ 是二阶的，分母却只有一阶。这个阶数上的落差已经足以说明极限是 $0$。

3. 3

   把主部相除。

   $\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=\frac{\frac{x^2}{2}\left(1-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)}{-x\left(1+\frac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{x}{2}\cdot\frac{1+O\!\left(x^2\right)}{1+O(x)}\longrightarrow 0$

   括号里的两个因子都趋于 $1$，所以整个式子在 $0$ 附近的行为就像 $-\tfrac{x}{2}$。

4. 4

   用洛必达法则验证。 对分子分母各求一次导：

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{-e^{x}}=\frac{0}{-1}=0$

   这里求一次就够了，因为求导之后形式变成 $\tfrac{0}{-1}$，已经是定式。再用第二次就错了——只有在形式仍为未定式时才允许使用该法则。

5. 5

   数值上检查两侧的行为。 取 $x=10^{-3}$，商是 $-0.00049975$；取 $x=10^{-5}$，商是 $-5.00\times 10^{-6}$；取 $x=-10^{-5}$，商是 $+5.00\times 10^{-6}$。这些值从相反的两侧趋向 $0$，与线性近似 $-\tfrac{x}{2}$ 一致，因此双侧极限是

   $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=0$