解微分方程 dx/dy = a · x^(2/3)，其中 a 是常数。

Step-by-step solution

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   分离变量。 两边同除以 $x^{2/3}$，再乘上 $dy$，就让每个变量各自带着自己的微分：

   $x^{-2/3}\,dx=a\,dy.$

   注意除以 $x^{2/3}$ 只在 $x\ne0$ 时才合法——$x=0$ 这种情况必须单独考察，而本题里它恰恰要紧。

2. 2

   左边按幂函数法则积分。 取 $n=-\tfrac23$，新指数是 $n+1=\tfrac13$：

   $\int x^{-2/3}\,dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}.$

   除以 $\tfrac13$ 就是乘以 $3$——后面那个 $\tfrac{a}{3}$ 里的因子正是从这儿来的。

3. 3

   右边积分后合并。 由于 $a$ 是常数，$\int a\,dy=ay$，于是

   $3x^{1/3}=ay+C.$

   一阶方程只需要一个任意常数。

4. 4

   把 $x$ 显式解出来。 两边除以 $3$，并把常数吸收掉：

   $x^{1/3}=\frac{a}{3}y+C_{1}\;\Longrightarrow\;x=\left(\frac{a}{3}y+C_{1}\right)^{3}.$

   立方这一步不会带来 $\pm$ 的歧义，因为立方函数在实数上是一一对应的——这一点和平方不同。

5. 5

   补上奇解并验证。 常函数 $x\equiv0$ 满足方程（$\frac{dx}{dy}=0$，而 $a\cdot0^{2/3}=0$），但它不属于任何有限 $C_{1}$ 给出的通解形式，所以它是一个真正的奇解。这也让本题成了解不唯一的标准例子：过点 $x=0$ 同时有 $x\equiv0$ 和 $x=\left(\tfrac{a}{3}y\right)^{3}$ 两条解通过，原因是 $x^{2/3}$ 在 $0$ 处不满足 Lipschitz 条件。数值检验：取 $a=1.7$、$C_{1}=0.4$，在 $y=1.1$ 处 $\frac{dx}{dy}=1.7802589$，而 $ax^{2/3}=1.7802589$ ✓。