用对数求导法求 y = (sin x)^(cos x) 的导数。

Step-by-step solution

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   先看清普通法则为什么会失效。 幂函数法则 $\frac{d}{dx}u^n = nu^{n-1}u'$ 要求指数是常数，而指数函数法则 $\frac{d}{dx}a^u = a^u \ln a \cdot u'$ 要求底数是常数。这里底数和指数都在变，两条都用不上，正该请出对数求导法。

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   两边取自然对数。 取对数把指数变成了因子：

   $\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$

   它在 $\sin x > 0$ 的区间上成立，例如 $0 < x < \pi$；对任意实指数来说，原式也正是在这样的区间上才有定义。

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   两边隐函数求导。 左边用链式法则得到 $\dfrac{y'}{y}$。右边对 $\cos x$ 与 $\ln(\sin x)$ 用乘积法则：

   $\frac{y'}{y} = (-\sin x)\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

   由链式法则，$\ln(\sin x)$ 的导数是 $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$——这一项最容易被漏掉。

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   整理右边。

   $\frac{y'}{y} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)$

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   再乘回 $y$。 要把 $y$ 换回原来的表达式——答案里还留着 $y$ 就算没做完：

   $y' = (\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right)$

   等价地也可以写成 $y' = (\sin x)^{\cos x}\bigl(\cos x \cot x - \sin x \ln \sin x\bigr)$。

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   挑个方便的点验算。 在 $x = \tfrac{\pi}{4}$ 处：$\sin x = \cos x = \tfrac{\sqrt2}{2} = 0.707107$，所以 $(\sin x)^{\cos x} = 0.707107^{0.707107} = 0.782654$。括号里是 $\dfrac{0.5}{0.707107} - 0.707107\ln(0.707107) = 0.707107 + 0.245064 = 0.952171$。两者相乘得 $0.745221$。用符号求导在 $\tfrac{\pi}{4}$ 处求值得到 $0.745221$——这点小差距只是上面手算取位造成的舍入；多留几位（$0.7826540 \times 0.9521713$）就复现出 $0.7452207$ ✓。