求 (x² − x − 6)/|x + 2| 在 x 趋于 −2 时的极限，或说明它不存在。

Step-by-step solution

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   先看形式，再把分子分解。 代入 $x=-2$ 得 $\frac{4+2-6}{0}=\frac{0}{0}$，是未定式。把分子因式分解：

   $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),$

   于是表达式变成 $\dfrac{(x-3)(x+2)}{|x+2|}$。因式 $(x+2)$ 在上面有一个，在下面也以绝对值的形式出现 —— 这就是必须做单侧分析的信号。

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   弄清绝对值为什么不允许一次性约掉。 对 $t\ne0$，当 $t>0$ 时 $\frac{t}{|t|}$ 等于 $+1$，当 $t<0$ 时等于 $-1$。这里 $t=x+2$ 恰好在极限点处变号，所以无论你把 $x$ 取得离 $-2$ 多近，这个商都在 $+1$ 与 $-1$ 之间跳来跳去。两侧必须分开处理。

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   先算左极限。 当 $x<-2$ 时 $x+2<0$，所以 $|x+2|=-(x+2)$，于是

   $\frac{(x-3)(x+2)}{-(x+2)}=-(x-3)=3-x\ \longrightarrow\ 3-(-2)=5.$

   所以 $\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}=5$。

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   再算右极限。 当 $x>-2$ 时 $x+2>0$，所以 $|x+2|=x+2$，于是

   $\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}=x-3\ \longrightarrow\ -2-3=-5.$

   所以 $\displaystyle\lim_{x\to-2^{+}}=-5$。

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   下结论，并做数值检验。 因为 $5\ne-5$，两个单侧极限不一致，所以双侧极限不存在。数值上，$x=-2.001$ 时商是 $5.001$，$x=-1.999$ 时是 $-4.999$ ✓ —— 图像在 $x=-2$ 处有一个高度为 $10$ 的跳跃。假如分母是 $x+2$ 而不是 $|x+2|$，极限就会存在，并且等于 $-5$。