求通项为 1/(n(n + 2)) 的无穷级数从 n = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

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   先做裂项（部分分式分解）。 设 $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$，通分后得 $1=A(n+2)+Bn$，于是 $A=\frac12$、$B=-\frac12$，即 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$。

2. 2

   注意这里错开的是两项。 和相邻项相消的裂项不同，每个负项要跨过两位才被后面的正项抵消。这意味着前端会留下两项、后端也留下两项，而不是各留一项。

3. 3

   写出部分和。 $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1+\frac12\right)-\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)\right]$，因为前端只有 $\frac11,\frac12$ 永远没人抵消，后端只有 $\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2}$ 永远没人抵消。

4. 4

   取极限。 当 $N\to\infty$ 时后面两个分数趋于零，只剩下 $S=\frac{1}{2}\left(1+\frac12\right)$。

5. 5

   化简。 $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$。

6. 6

   数值验算。 把前 $2\times10^{6}$ 项加起来得到 $0.7499995$，与 $\frac34$ 在小数点后六位上吻合。