计算 yz 在区域 0 ≤ x ≤ 2π，0 ≤ y ≤ 2，y² ≤ z ≤ 4 上的三重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认上下限是自洽的。 当 $0 \le y \le 2$ 时有 $y^2 \le 4$，所以内层范围 $y^2 \le z \le 4$ 处处非空，只在 $y = 2$ 处退化成一个点。这个区域就是抛物面 $z = y^2$ 与平面 $z = 4$ 之间的立体，再沿 $x$ 方向拉伸而成。

2. 2

   对 z 积分，这一层的下限是变量。

   $\int_{y^2}^{4} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_{y^2}^{4} = y\left(\frac{16}{2} - \frac{y^4}{2}\right) = 8y - \frac{y^5}{2}$

   下限代入后要平方，$(y^2)^2 = y^4$；忘了平方就会留下 $y^2$，答案随之出错。

3. 3

   对 y 从 0 积到 2。

   $\int_0^2 \left(8y - \frac{y^5}{2}\right) dy = \left[4y^2 - \frac{y^6}{12}\right]_0^2 = 16 - \frac{64}{12} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

4. 4

   对 x 积分——被积式已经不含 x 了。 化简后的表达式里没有任何 $x$，所以这一步无非是乘上 $x$ 区间的长度：

   $\int_0^{2\pi} \frac{32}{3}\,dx = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$

5. 5

   写出答案并做合理性核验。

   $\iiint yz\,dV = \frac{64\pi}{3} \approx 67.02$

   拿它跟配套的那道题比一比：那道题里 $z$ 从 $0$ 积到 $y^2$，结果是 $\frac{32\pi}{3}$，两者相加应当等于整个长方体 $0 \le z \le 4$ 上的积分，即 $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$。确实 $\frac{64\pi}{3} + \frac{32\pi}{3} = 32\pi$——这是一次完整的自洽性检验。