解微分方程 dy/dx = y。

Step-by-step solution

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   认出方程，并读懂它在说什么。 变化率等于量本身——这正是指数增长的定义性质。它是可分离变量的，因为右边只依赖 $y$。同时立刻注意到 $y=0$ 是一个常数解，因为那时两边都是 $0$；最后我们需要把它找回来。

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   分离变量。 暂且假设 $y\neq0$，两边除以 $y$ 再乘 $dx$：

   $\frac{1}{y}\,dy=dx$

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   两边积分。

   $\int\frac{1}{y}\,dy=\int1\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \ln|y|=x+C$

   绝对值是必需的，因为负数的 $\ln$ 没有定义——而它也正是让负值解得以存活的关键。

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   取指数，把 y 解出来。

   $|y|=e^{x+C}=e^{C}e^{x}$

   这里 $e^C$ 是一个任意的正常数。

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   把符号吸收进常数里。 去掉绝对值会带出一个 $\pm$：$y=\pm e^{C}e^{x}$。由于 $\pm e^{C}$ 可以取遍所有非零实数，就把它重新记作 $C$：

   $y=Ce^{x}$

   现在允许 $C=0$，也就把第 2 步排除掉的常数解 $y=0$ 恢复了，所以这一个式子就是完整的通解。

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   求导验证。 若 $y=Ce^x$，则 $\dfrac{dy}{dx}=Ce^x=y$ ✓——方程对每个 $C$ 都成立。数值上取 $C=1.7$，在 $x=-1,\,0.3,\,2.2$ 处，对称差商与 $y$ 本身吻合到七位有效数字 ✓。