计算 yz 在区域 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2、0 ≤ z ≤ y² 上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先看清楚为什么积分次序在这里是被锁死的。 内层 $z$ 的上限是 $y^2$，所以必须先对 $z$ 积分再对 $y$ 积分——内层积分限还依赖着中间那个变量时，中间变量是消不掉的。这个区域就是抛物柱面 $z = y^2$ 下方的立体沿 $x$ 方向拉出来的。

2. 2

   对 z 积分。 把 $y$ 当常数：

   $\int_0^{y^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = y \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{y^5}{2}$

   被积函数里的 $y$ 与上限 $y^2$ 合到一起，把次数从 $1$ 一下推到了 $5$。

3. 3

   对 y 从 0 积到 2。

   $\int_0^2 \frac{y^5}{2}\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^6}{6}\right]_0^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$

4. 4

   对 x 积分。 剩下的式子已经不含 $x$，所以这一步就是乘上区间长度 $2\pi$：

   $\int_0^{2\pi}\frac{16}{3}\,dx = \frac{16}{3}\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3}$

5. 5

   用互补区域验算。 在整个长方体 $0 \le z \le 4$ 上，积分等于 $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$。而柱面上方那部分 $y^2 \le z \le 4$ 算出来是 $\frac{64\pi}{3}$，于是

   $\frac{32\pi}{3} + \frac{64\pi}{3} = 32\pi \ \checkmark$

   所以 $\frac{32\pi}{3} \approx 33.51$ 得到确认。