对 (x − 4y) 在矩形 −1 ≤ x ≤ 2、0 ≤ y ≤ 1 上的积分：先描述积分区域，再算出这个二重积分，然后交换积分次序再算一遍。

Step-by-step solution

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   (a) 读出积分限。 内层变量是 $x$，上下限是常数 $-1$ 和 $2$；外层是 $y$，从 $0$ 到 $1$。因为四个积分限全是常数，所以积分区域是一个矩形：

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\}$

   四个顶点是 $(-1,0)$、$(2,0)$、$(2,1)$ 和 $(-1,1)$。

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   (b) 先对 x 积分，把 y 当作常数。

   $\int_{-1}^{2}(x-4y)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-4yx\right]_{-1}^{2}=(2-8y)-\left(\tfrac12+4y\right)=\frac{3}{2}-12y$

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   再把结果对 y 积分。

   $\int_{0}^{1}\left(\frac32-12y\right)dy=\left[\frac{3y}{2}-6y^{2}\right]_{0}^{1}=\frac32-6=-\frac92$

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   (c) 交换积分次序。 在矩形上，两组积分限直接对调位置即可 —— 不需要分情况讨论，因为哪个变量的范围都不依赖另一个：

   $\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy\,dx$

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   按新次序算一遍。 先对 $y$ 做内层积分：

   $\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy=\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{1}=x-2$

   再对 $x$ 积分：

   $\int_{-1}^{2}(x-2)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{-1}^{2}=(2-4)-\left(\tfrac12+2\right)=-2-\tfrac52=-\frac92$

   $\boxed{-\dfrac92}$

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   用一个捷径再确认一次。 因为被积函数能拆开、区域又是矩形，所以 $\iint_D(x-4y)\,dA=\left(\int_{-1}^{2}x\,dx\right)(1)-4\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)(3)=\tfrac32-4\left(\tfrac12\right)(3)=\tfrac32-6=-\tfrac92$，与两种次序的结果都一致 —— 这正是富比尼定理的一个实例：连续的被积函数在矩形上，两种次序必然给出相同的值。