求 4x²z³y 的三重积分，其中 x 从 0 到 1，y 从 1 到 2，z 从 1 到 2。

Step-by-step solution

1. 1

   从微分符号读出积分次序。 微分依次写作 $dx\,dy\,dz$，所以最里层的变量是 $x$（从 $0$ 到 $1$），其次是 $y$（从 $1$ 到 $2$），最外层是 $z$（从 $1$ 到 $2$）。六个上下限全是常数，说明这是一个长方体区域上的积分，完全不涉及边界曲线。

2. 2

   对 x 积分。 把 $z^{3}$ 和 $y$ 当作常数，$\int_{0}^{1}4x^{2}z^{3}y\,dx=4z^{3}y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}z^{3}y .$

3. 3

   对 y 积分。 这时 $\frac43 z^{3}$ 相对于 $y$ 是常数：$\int_{1}^{2}\frac{4}{3}z^{3}y\,dy=\frac{4}{3}z^{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{4}{3}z^{3}\cdot\frac{3}{2}=2z^{3}.$

4. 4

   对 z 积分。 $\int_{1}^{2}2z^{3}\,dz=\left[\frac{z^{4}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.$

5. 5

   把因子分离开来交叉验证。 由于被积函数可以拆成 $4\cdot x^{2}\cdot y\cdot z^{3}$，而长方体的上下限又都是常数，整个积分就等于三个一元积分的乘积：$4\cdot\frac13\cdot\frac32\cdot\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$，与逐层积分的结果一致。