计算 1/(2 + 2x²)² 从 −∞ 到 ∞ 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常数从括号里提出来。 由于 $2+2x^2=2(1+x^2)$，

   $\left(2+2x^2\right)^{2}=4\left(1+x^2\right)^{2}\ \Longrightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(2+2x^2\right)^2}=\frac14\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^{2}}$

   换元之前先做这一步，标准积分的模样才认得出来。

2. 2

   先确认这个反常积分收敛。 当 $|x|$ 很大时，被积函数的行为像 $x^{-4}$，而 $\int^{\infty}x^{-4}\,dx$ 收敛，所以两端的尾部都是有限的，积分值有意义。

3. 3

   作换元 $x=\tan\theta$。 此时 $dx=\sec^2\theta\,d\theta$，$1+x^2=\sec^2\theta$，于是

   $\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}$

4. 4

   把积分限换到整条直线上。 当 $x$ 从 $-\infty$ 跑到 $\infty$ 时，$\theta$ 从 $-\tfrac\pi2$ 跑到 $\tfrac\pi2$，而 $\sin 2\theta$ 在两端都为零：

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

5. 5

   乘上前面提出的常数。

   $\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}\approx 0.3926991$

6. 6

   做数值验证。 在 $[-2000,2000]$ 上用四百万个子区间做中点法则，得到 $0.39269908168$，而 $\pi/8=0.39269908170$——小数点后十位都一致；被截掉的 $\pm 2000$ 以外的尾部贡献还不到 $10^{-9}$。