解微分方程 dy/dx + √(1 + (dy/dx)²) = eˣ。

Step-by-step solution

1. 1

   先把导数换成一个符号。 令 $p=\dfrac{dy}{dx}$，方程就写成

   $p+\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}$

   注意 $y$ 本身根本没出现：这个方程在每个 $x$ 处以代数方式确定 $p$，之后只需积分一次。这正是这类方程能做下去的全部原因。

2. 2

   平方之前先把根式单独留下。 直接对原式两边平方会留下交叉项；先分离根式就能避开：

   $\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}-p$

   要让根式非负，需要 $e^{x}\ge p$，这个条件最后要回头确认。

3. 3

   平方，看 $p^{2}$ 如何抵消。

   $1+p^{2}=e^{2x}-2e^{x}p+p^{2}\ \Longrightarrow\ 1=e^{2x}-2e^{x}p$

   二次项消失了，只剩下关于 $p$ 的一次方程 —— 正是这一抵消让问题能有闭式解。

4. 4

   解出 $p$，并认出双曲正弦。

   $2e^{x}p=e^{2x}-1\ \Longrightarrow\ p=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x$

5. 5

   积分一次。

   $y=\int\sinh x\,dx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+C=\cosh x+C$

   一阶方程只带一个任意常数，这是对的。

6. 6

   检验解，并核对平方时的条件。 取 $p=\sinh x$：$p+\sqrt{1+\sinh^{2}x}=\sinh x+\cosh x=e^{x}$ ✓（用了 $\cosh^{2}-\sinh^{2}=1$ 和 $\cosh x>0$）。条件 $e^{x}-p=\cosh x>0$ 对一切 $x$ 都成立，所以平方没有引入多余解。数值上取 $x=2$：$\sinh 2+\cosh 2=3.6269+3.7622=7.3891=e^{2}$ ✓。