求 (x + y)/(x² + y²) 在曲线 x³ + y³ = 3xy 的圈所围区域上的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把边界曲线化成极坐标形式。 令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，曲线 $x^3+y^3=3xy$ 变成 $r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3r^2\cos\theta\sin\theta$，于是当 $r\neq0$ 时

   $r_{\max}(\theta)=\frac{3\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$

   它在 $\theta=0$ 和 $\theta=\pi/2$ 处为零、在两者之间恒为正，所以 $\theta\in[0,\pi/2]$ 恰好描出那个圈——叶形线上有界的那一段。

2. 2

   再把被积函数化过去，看雅可比是怎么约掉的。

   $\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r^2}=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{r}$

   由于 $dA=r\,dr\,d\theta$，雅可比里的 $r$ 正好与 $1/r$ 抵消：极坐标下的被积函数里完全不含 $r$。这正是这块难缠的区域居然算得动的原因。

3. 3

   内层积分一行就能做完。 既然已经不含 $r$，

   $I=\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,r_{\max}(\theta)\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\,d\theta$

4. 4

   用立方和公式约分。 因为 $\cos^3\theta+\sin^3\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(1-\cos\theta\sin\theta)$（中间那个因子由 $\cos^2+\sin^2=1$ 化简得来），因子 $\cos\theta+\sin\theta$ 被约掉：

   $I=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}\,d\theta$

   注意 $1-\cos\theta\sin\theta\ge\tfrac12$，所以这是个正常积分，哪里都不会发散。

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   化成标准的万能代换积分。 把 $\cos\theta\sin\theta$ 写成 $\tfrac12\sin2\theta$，再作代换 $\varphi=2\theta$：

   $I=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{3\sin\varphi}{2-\sin\varphi}\,d\varphi=\frac{3}{2}\left[-\pi+2\int_0^{\pi}\frac{d\varphi}{2-\sin\varphi}\right]$

   再用半角代换 $t=\tan(\varphi/2)$，剩下的那个积分就变成 $\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2-t+1}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$。

6. 6

   拼出闭式，并做数值检验。

   $I=\frac{3}{2}\left(-\pi+\frac{8\pi}{3\sqrt3}\right)=\frac{4\pi}{\sqrt3}-\frac{3\pi}{2}=\frac{4\sqrt3\,\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}$

   数值上是 $7.255197-4.712389=2.5428085$，与直接对 $\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}d\theta$ 用辛普森法算出的结果在小数点后七位上完全一致 ✓。