求积分 ∫ 2dy 除以 (−2y)。

Step-by-step solution

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   先把数字常数约掉。 分子的 $2$ 与分母的 $-2$ 约成 $-1$：

   $\int \frac{2}{-2y}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}\right)dy$

   在积分之前先约分，可以免得把这些因子一路带进原函数里。

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   把常数提到积分号外。 常数可以直接穿过积分号：

   $\int \left(-\frac{1}{y}\right)dy = -\int \frac{1}{y}\,dy$

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   用倒数的积分公式。

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C$

   绝对值很关键：$\tfrac1y$ 在 $y$ 为负时同样有定义，而那里 $\tfrac{d}{dy}\ln(-y) = \tfrac{-1}{-y} = \tfrac1y$。只写 $\ln y$ 会把答案限制在 $y > 0$。另外注意幂函数法则 $\int y^n dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1}$ 在这里失效，因为 $n = -1$ 会导致除以零。

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   把答案写出来。

   $\int \frac{2\,dy}{-2y} = -\ln|y| + C$

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   求导检验，并留意一种等价写法。 $\tfrac{d}{dy}\left(-\ln|y|\right) = -\tfrac1y$，与被积函数一致。由于 $-\ln|y| = \ln|y|^{-1}$，结果也可以写成 $\ln\left|\tfrac{1}{y}\right| + C$。顺带一提，用分离变量法解衰减方程 $\tfrac{dy}{dx} = -2y$ 时，左边出现的正是这个积分。