求 sin x − cos y 在正方形 0 ≤ x ≤ 2π、0 ≤ y ≤ 2π 上的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把被积函数拆成两块互不相干的部分。 积分是线性的，而积分区域又是上下限都为常数的矩形，所以

   $\iint(\sin x-\cos y)\,dA=\iint \sin x\,dA-\iint\cos y\,dA.$

   每一块都只依赖一个变量，于是两块都化成了一维积分的乘积。

2. 2

   算第一块。 因为 $\sin x$ 里不含 $y$，对 $y$ 的积分只是乘上区间长度 $2\pi$：

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=2\pi\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(-1+1)=0.$

3. 3

   第二块照同样的路子算。

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dy=2\pi\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(0-0)=0.$

4. 4

   合起来。

   $\iint_{[0,2\pi]^{2}}(\sin x-\cos y)\,dA=0-0=0.$

5. 5

   说说这个结果为什么是必然的。 边长 $2\pi$ 恰好是 $\sin$ 与 $\cos$ 的一个完整周期，而任何正弦型函数在整个周期上的积分都为零——正的那一半与负的那一半面积相等。任何长度为 $2\pi$ 的区间都会给出同样的答案；要是上下限换成 $0$ 到 $\pi$，正弦那一项就会贡献 $2\pi\cdot 2=4\pi$ 了。