用球坐标计算 x² + y² + z² 在单位球体 x² + y² + z² ≤ 1 上的三重积分。

Step-by-step solution

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   注意到被积函数和积分区域都是径向对称的。 被积函数 $x^2+y^2+z^2$ 和边界 $x^2+y^2+z^2=1$ 都只跟到原点的距离有关。这就是改用球坐标最明确的信号：写成直角坐标要嵌套一层层带根号的上下限，换成球坐标后三对上下限全是常数。

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   写出球坐标代换，别漏掉雅可比因子。 令

   $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$

   被积函数立刻塌缩成 $x^2+y^2+z^2=\rho^2$，而体积元要带上雅可比因子

   $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   这个 $\rho^2\sin\phi$ 不是可有可无的记账项——它是坐标变换在局部的体积伸缩率，漏掉它是这个积分最常见的翻车方式。

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   写出上下限。 单位球体可描述为

   $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\phi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le2\pi$

   注意 $\phi$（极角，从 $+z$ 轴往下量）只走到 $\pi$，而 $\theta$（方位角）要走满 $2\pi$。把这两个范围对调，整个球就会被重复计算一遍。

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   组装积分并把它分离。 被积函数与雅可比因子相乘得 $\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi=\rho^4\sin\phi$，于是

   $\iiint_B\left(x^2+y^2+z^2\right)dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{1}\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   既然被积函数可以拆成（$\rho$ 的函数）$\times$（$\phi$ 的函数）$\times$（与 $\theta$ 无关的常数），而且上下限都是常数，这个三重积分就分裂成三个一元积分的乘积。

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   把三个因子分别算出来。

   $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi=\big[-\cos\phi\big]_0^{\pi}=1+1=2,\qquad \int_0^{1}\rho^4\,d\rho=\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1=\frac15$

   相乘：

   $(2\pi)(2)\left(\frac15\right)=\frac{4\pi}{5}\approx2.5133$

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   估一估答案的量级合不合理。 球体的体积是 $\tfrac43\pi\approx4.19$，被积函数 $\rho^2$ 从球心处的 $0$ 变到球面上的 $1$，所以积分值必须严格落在 $0$ 与 $4.19$ 之间。$\rho^2$ 在球体上的平均值是 $\tfrac{4\pi/5}{4\pi/3}=\tfrac35$，比 $\tfrac12$ 大一些也很合理，因为球的体积大部分都堆在靠外的壳层里。用外接正方体做蒙特卡洛估计得到 $\approx2.515$，与 $4\pi/5$ 相符。