求 e 的 -x² 次方关于 x 的积分。

Step-by-step solution

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   先试最显然的换元，看它怎么失败。 令 $u=-x^{2}$ 得 $du=-2x\,dx$，可是被积函数里没有多余的 $x$ 可以吸收掉它，换元根本凑不出来。分部积分也只会来回打转，永远化不简。这不是技巧不够，而是结构上就不行。

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   了解背后的理论结论。 由刘维尔关于有限项积分的定理，$e^{-x^{2}}$ 没有初等原函数——不可能用多项式、根式、指数、对数和三角函数经过有限次运算写出来。对比一下 $\int xe^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$，它之所以是初等的，恰恰是因为多出来的那个 $x$ 让换元行得通。

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   把误差函数当作定义引进来。 数学家干脆给这个缺失的原函数起了个名字：

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

   前面的系数 $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ 是特意取的，为的是让 $\operatorname{erf}(\infty)=1$，这样 erf 在统计里就能直接当作一个概率来用。

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   把定义反过来用，就得到答案。 对定义式求导得 $\operatorname{erf}'(x)=\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$，所以乘上 $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 就把那个归一化因子抵消掉：

   $\int e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C$

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   再和整条实轴上的定积分对照一下。 虽然初等原函数不存在，但这个定积分却有一个著名的精确值：

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

   它是把积分平方后换成极坐标算出来的。定积分有封闭形式，与不定积分没有封闭形式，这两件事完全可以并存。